线性系统理论第二章-线性系统的运动分析_图文

发布于:2021-05-11 05:28:58

Introduction
现代控制理论的基本问题(以线性离散系统为例)
? 建模与辨识
? 运动与稳定性分析

x(k ? 1) ? Ax(k ) s.t. x(0) ? x0 k ? 0,1, 2,?
? 控制器设计

建模与辨识 最小二乘、梯度、投影 持续激励条件(PE) 稳定性分析 压缩映射的方法 liyapunov方法 观测器设计(滤波器设计) 控制器设计 最优控制 鲁棒控制 自适应控制 模糊控制 神经网络控制 专家系统控制 数据驱动控制(学*控制等)

Introduction
? 运动分析的数学实质
? 求解系统状态方程,以解析形式或数值分析形式建立系统状态随输入和初始状态的

演化规律,状态演化形态对系统结构和参数的依赖关系
? 对连续时间线性系统,运动分析即求解微分状态方程

? ? A(t ) x ? B(t )u x s.t. x(t0 ) ? x0 t ? [t0 , t f ].

? ? Ax ? Bu x s.t. x(t0 ) ? x0 t ? t0

? 对离散时间线性系统,运动分析即求解差分型状态方程

x(k ? 1) ? G(k ) x(k ) ? H (k )u (k ) s.t. x(0) ? x0 k ? 0,1, 2, ?
? 系统的运动形态主要由系统结构和参数决定

x(k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu (k ) s.t. x(0) ? x0 k ? 0,1, 2, ?

? 对线性系统,可得到状态的解析解,即能以显式形式给出运动过程对系统结构与参

数的依赖关系

Introduction
解的存在性和唯一性条件
? ? A(t ) x ? B(t )u, x(t0 ) ? x0, t ?[t0 , t? ] x
若系统矩阵A(t),B(t)的所有元在时间定义区间[t0,tα]上为时间t的连续实函数,输入u(t)的所有元 为时间t的连续实函数,则状态方程的解x(t)存在且唯一。实际物理系统一般均满足此条件。 从数学观点,上述条件过于苛刻,可减弱为:

①系统矩阵A(t)的各个元αij(t)在时间区间[t0,tα]上为绝对可积,即:

?
?
?

t?

t0

| aij (t ) | dt ? ?,

i, j ? 1,2,?n

②输入矩阵B(t)的各个元bik(t)在时间区间[t0,tα]上为*方可积,即:
t? t0

[bik (t )]2 dt ? ?,
[uk (t )]2 dt ? ?,

i ? 1,2,?n,

k ? 1,2? p

③输入u(t)的各个元uk(t)在时间区间[t0,tα]上为*方可积,即:
t? t0

k ? 1,2? p

条件②③可一步合并为要求B(t)u(t)的各元在时间区间[t0,tα]上绝对可积。

Introduction
?

零输入和零状态响应 ? 线性系统满足叠加原理 ? 在初始状态和输入向量作用下的运动,分解为 两个单独的分运动: ① 初始状态?自由运动 ② 输入作用?强迫运动

x(t ) ? x0u (t ) ? x0 x (t )
u

x0u u x x0 x u?0 ? ? ? x ? A(t ) x ? B(t )u x ? A(t ) x ? B(t )u x ? A ( t ) x ? B ( t ) u ? ?
x0 x0 x0 ? 0

Outline
线性定常系统齐次状态方程的解 状态转移矩阵 线性定常系统非齐次状态方程的解

线性时变系统的运动分析* 线性系统的脉冲响应矩阵*
线性连续系统方程的离散化 线性离散系统的运动分析

线性定常系统齐次状态方程的解
线性定常系统齐次状态方程为

? (t ) ? Ax (t ) x
这时系统的输入为零 先考察标量齐次微分方程的幂级数解法

(1)

? ? ax x
假设其解为一幂级数

(2)
3 k

x ? b0 ? b1t ? b2t ? b3t ? ?? bk t ? ?
2

(3)

将(3)式代入(2)式

b1 ? 2b2t ? 3b3t 2 ? ?? kbk t k ?1 ? ?

? a(b0 ? b1t ? b2t 2 ? ?? bk t k ? ?)

线性定常系统齐次状态方程的解
等式两边t 的同次幂的系数相等,因此有
b1 ? ab0 ? 1 1 2 ? b2 ? ab1 ? a b0 ? ? 2 2! ? ? ? 1 1 k ? bk ? abk ? a b0 ? k k! ?

而 b0 ? x(0)

则解为 x(t ) ? (1 ? at ?

1 2 2 1 a t ? ? ? a k t k ? ?) x(0) ? e at x(0) 2! k!
1 2 2 1 a t ? ? ? akt k ? ? 2! k!

(4)

因为

e at ? 1 ? at ?

模仿标量齐次微分方程的解法,假设线性定常系统齐次状态方程 (1)的解为 (5) x ? b0 ? b1t ? b2t 2 ? b3t 3 ? ?? bk t k ? ? 将(5)式代入(1)式

线性定常系统齐次状态方程的解
b1 ? Ab0 ? 1 1 2 ? b2 ? Ab1 ? A b0 ? ? 2 2! ? ? ? 而 b0 ? x(0) 1 1 k ? bk ? Abk ? A b0 ? k k! ? 则线性定常系统齐次状态方程(1)的解为

b1 ? 2b2t ? 3b3t 2 ? ?? kbk t k ?1 ? ? ? A(b0 ? b1t ? b2t 2 ? ?? bk t k ? ?) 等式两边t 同次幂的系数相等,因此有

1 22 1 k k x(t ) ? ( I ? At ? A t ? ? ? A t ? ?)x(0) 2! k! 记作 1 22 1 k k At e ? I ? At ? A t ? ? ? A t ? ? 2! k! 则 x(t ) ? e At x(0)

(6)

(7)

线性定常系统齐次状态方程的解
如果 t0 ? 0 则 x(t ) ? e
A(t ?t0 )

x(t0 )

(8)

将(8)式代入(1)式验证



d A ( t ?t0 ) ? x (t ) ? x (t ) ? A e x (t0 ) ? Ax (t ) dt x (t ) t ?t ? e A(t0 ?t0 ) x (t0 ) ? x (t0 )
0

矩阵指数函数

e

A ( t ?t 0 )

又称为状态转移矩阵,记作 ? (t ? t0 )

x (t ) 是由初始状态 x (t0 ) 激励的。因此,这 由于系统没有输入向量,

时的运动称为自由运动。 x (t ) 的形态由 e A(t ?t0 ) 决定,即是由矩阵 A 惟一决定的。

状态转移矩阵
线性定常系统齐次状态方程的解为

x(t ) ? e A(t ?t0 ) x(t0 ) 或 x(t ) ? e A(t ) x(0)
其几何意义是:系统从初始状态 x (t0 ) 开始,随着时间的推移, A ( t1 ?t0 ) e 由 转移到 x (t1 ) ,再由 e A(t2 ?t1 )转移到 x (t 2 ) ,…… 。

x (t ) 的形态完全由 e A(t ?t0 ) 决定。

状态转移矩阵
状态转移矩阵的基本性质 1) 2)

d At e ? A e At ? e At A dt 即 e A?0 ? I



?(t ) ? A? (t ) ? ? (t ) A ?

3)可逆性
4)传递性 即 5)当且仅当

?e ?

? (0) ? I
? At

At ?1

?e



?? (t )?

?1

? ? ?1 (t ) ? ? (?t )

? (t2 ? t1 )? (t1 ? t0 ) ? ? (t2 ? t0 )
AB ? BA 时,有 e At e Bt ? e( A? B )t

e A(t2 ?t1 ) e A(t1 ?t0 ) ? e A(t2 ?t0 )

状态转移矩阵
状态转移矩阵的求法 方法1 根据定义,计算
At

? (t )
(9)

? (t ) ? e
方法2

应用拉普拉斯变换法,计算 ? (t )

1 2 2 1 k k ? I ? At ? A t ? ? ? A t ? ? 2! k!

? ? Ax x

对上式求拉普拉斯变换,得

sx(s) ? x(0) ? Ax (s) [ sI ? A] x ( s) ? x (0) 如果 [ sI ? A]为非奇异 x(s) ? [sI ? A]?1 x(0)
x (t ) ? L
?1

{[sI ? A]?1 x(0)} ? L
?1

?1

[sI ? A]?1 x(0)
(10)

由微分方程解的唯一性

? (t ) ? e At ? L

[sI ? A]?1

状态转移矩阵
例 线性定常系统的齐次状态方程为
?1 ? ? 0 1 ? ? x1 ? ?x ?x ? ? ?? 2 ? 3? ? x ? ? ?? 2 ? ? 2? ?

求其状态转移矩阵 ? (t ) ? e At ?1 ?s ?1 ? ? s ? 3 1? 1 ?1 解 [ sI ? A] ? ? ? ? ? ? 2 s? 2 s ? 3 ( s ? 1 )( s ? 2 ) ? ? ? ? 1 1 1 ? ? 2 ? ? ? s ?1 s ? 2 s ?1 s ? 2 ? ?? ?2 2 ?1 2 ? ? ? ? ? ? s ?1 s ? 2 s ?1 s ? 2 ? 于是
?t ?2t ? 2 e ? e ? (t ) ? e At ? L ?1[ sI ? A]?1 ? ? ?t ? 2t ? 2 e ? 2 e ?

e ?t ? e ?2t ? ? ? e ?t ? 2 e ? 2 t ?

状态转移矩阵
方法3 应用凯莱-哈密顿定理,计算 ? (t ) 凯莱-哈密顿定理:n ? n 矩阵 A 满足自身的特征方程。 Δ(λ) ? det[λI ? A] ? λn ? an?1λn?1 ? ?? a2 λ2 ? a1λ ? a0 ? 0 λn ? ?an?1λn?1 ??? a2 λ2 ? a1λ ? a0 即
根据凯莱-哈密顿定理

Δ( A) ? An ? an?1 An?1 ? ?? a2 A2 ? a1 A ? a0 I ? 0 An ? ?an?1 An?1 ??? a2 A2 ? a1 A - a0 I
(11)

状态转移矩阵




?3 9? 用凯莱-哈密顿定理计算 ? ? 2 6 ? ? ?λ ? 3 ? 9 ? 2 Δ( λ) ? det ? ? λ ? 9λ ? 0 ? ? ? 2 λ ? 6?
2 由凯-哈定理:A ? 9 A ? 0

100

A2 ? 9 A A3 ? 9 A2 ? 92 A
?3 9? 所以 ?2 6? ? ?
100

,?,
99

A100 ? 999 A

?3 9? ? 9 ?? ? 2 6 ? ?

状态转移矩阵
n n ?1 An?2 、 (11)式表明: A 是 A 、

?、 A 、 I 的线性组合
(12)

An?1 ? A ? An ? ?an?1 An ? ?? a2 A3 ? a1 A2 - a0 A

将(11)式代入(12)式,不断地进行下去,可以看出: ? 都是 An?1 、An?2 、 ?、A 、I 的线性组合 A n 、 An ?1 、 A n ? 2 、

? (t ) ? e

At

1 2 2 1 k k ? 1 ? At ? A t ? ? ? A t ? ? 2! k!
(13)

? a0 (t ) I ? a1 (t ) A ? a2 (t ) A2 ? ?? an?1 (t ) An?1

i ? 0, 1 , ?, (n ? 1)为待定系数。 ai (t ) 的计算方法为: 其中, ai (t ), 1)A 的特征值互异 应用凯-哈定理, λi 和 A 都满足 A 的特征方程。因此, λi 也可以 满足(13)式。

状态转移矩阵
e λit ? a0 (t ) ? a1 (t ) λi ? a2 (t ) λi2 ? ?? an?1 (t ) λin?1
(其中,i ? 1,2,?, n ) 写成矩阵形式 ? e λ1t ? ?1 λ1 ? λ2t ? ? ?e ? ? ?1 λ2 ? ? ? ?? ? ? λnt ? ? ? ?e ? ? ? ?1 λn 于是

λ12 ? λ1n ?1 ? ? a0 (t ) ? ? 2 n ?1 ? ? a ( t ) λ2 ? λ2 ? ? 1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 n ?1 ? ? λn ? λn ? ? ?an ?1 (t )?

(14)

? a0 (t ) ? ?1 λ1 ? a (t ) ? ? ? 1 ? ? ?1 λ2 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?an ?1 (t )? ? ?1 λn

λ λ

2 1 2 2

?
2 λn

? ? ? λ ? ? ? n ?1 ? ? λn ? ? ? λ

n ?1 ?1 1 n ?1 2

? e λ1t ? ? λ2t ? ?e ? ? ? ? ? λnt ? ? ?e ? ?

(15)

状态转移矩阵
例 线性定常系统的齐次状态方程为
?1 ? ? 0 1 ? ? x1 ? ?x ?? ?x ? ??x ? ? ? 2 ? 3 ?? 2 ? ? 2? ?

用凯-哈定理计算其状态转移矩阵 ? (t ) 解 Δ( λ) ? det?λI ? A? ? λ( λ ? 3) ? 2 ? ( λ ? 1)(λ ? 2) ? 0

λ1 ? ?1

?a0 (t )? ?1 λ1 ? ? e λ1t ? ?1 ? 1? ? e ?t ? ? a (t ) ? ? ?1 λ ? ? λ2t ? ? ?1 ? 2? ? ?2t ? ? ? ?e ? 2 ? ?e ? ? 1 ? ? ?2 ? 1? ? e ?t ? ?2 e ?t ? e ?2t ? ?? ? ? 2 t ? ? ? ?t ? 2 t ? ? ?1 ? 1? ?e ? ? e ? e ?


?1

λ2 ? ?2

?1

a0 (t ) ? 2 e?t ? e?2t

a1 (t ) ? e?t ? e?2t

状态转移矩阵
1? ?1 0 ? ?t ? 2t ? 0 ? (t ) ? e ? a0 (t ) I ? a1 (t ) A ? (2 e ? e ) ? ? (e ? e ) ? ? ? 0 1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? 2 e ?t ? e ? 2 t ? ? 0 0 e ?t ? e ? 2 t ? ?? ?? ?t ? 2t ? ?t ? 2t ?t ? 2t ? 0 2 e ? e ? ?? 2 e ? 2 e ? 3e ? 3e ? ? ? 2 e ?t ? e ? 2 t e ?t ? e ? 2 t ? ?? ?t ? 2t ?t ?2t ? ? 2 e ? 2 e ? e ? 2 e ? ?
At ?t ? 2t

状态转移矩阵
2)A 的特征值相同,均为 λ1
?0 0 ? a0 (t ) ? ? ? a (t ) ? ?0 ? ? 1 ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0 0 ? an ?3 (t ) ? ? ?an ? 2 (t )? ? ? ? ?0 1 ? ? an ?1 (t ) ? ? ?1 λ 1 ? ? ? ? 1 0 ? 1 3 λ1 ? ? ? 0 1 ? ? ? ? ? (n ? 1)(n ? 2) n ?3 ? λ1 ? 2! ? (n ? 1)(n ? 2) n ? 2 ? λ1 ? 2! ? λ1n ?1 ? 1 (n ? 1) λ1
?1

2 λ1 3 λ12 ? λ12 λ13 ? λ1n ? 2

? 1 n ?1 λ1t ? t e ? ? (n ? 1)! ? ? ? 1 t n ? 2 e λ1t ? ? (n ? 2)! ? ? ? ? ? ? 1 2 λ1t t e ? ? 2! ? ? 1 ? ? t e λ1t ? ? 1! λ1t ? ? e ? ?

(16)

状态转移矩阵
3)A 的特征值有重特征值,也有互异特征值时,待定系 数 ai (t ) 可以根据(16)式和(15)式求得。然后代入 (13)式,求出状态转移矩阵 ? (t )
例 线性定常系统齐次状态方程为 求系统状态转移矩阵。 解 应用凯-哈定理计算 ? (t )
Δ( λ) ? det?λI ? A? ? λ3 ? 4λ 2 ? 5λ ? 2 ? ( λ ? 1)2 ( λ ? 2) ? 0

?0 1 0? ? ? ? 0 0 1 ?x x ? ? ? ? - 2 -5 - 4 ? ?

A 的特征值为
λ1 ? λ2 ? ?1
λ3 ? ?2

状态转移矩阵
于是

?a0 (t )? ?0 1 ? a (t ) ? ? ?1 λ 1 ? 1 ? ? ? ?a2 (t )? ? ? ?1 λ3

2 λ1 ? λ12 ? ? 2 λ3 ? ?

?1

?t e ? λ1t ?e ? e λ3t ?

λ1t

? ?0 1 ? 2? ?t e ? t ? ? ? ? ?t ? ? ? ? ?1 ? 1 1 ? ? e ? ? 2t ? ? ? ? ? 1 ? 2 4 e ? ? ? ? ?

?1

?t ?t ? 2t ? ? ? ? 2 0 1 t e 2 t e ? e ? ? ? ? e ?t ? ? ?3t e ?t ? 2 e ?t ? 2 e ? 2t ? ?? 3 ? 2 2 ? ? ? ? ?? ? 2t ? ?t ?t ? 2t ? ? ? ? ? 1 ? 1 1 e t e ? e ? e ? ?? ? ? ? 状态转移矩阵

? (t ) ? e At ? a0 (t ) I ? a1 (t ) A ? a2 (t ) A2 ?
? 2t e ?t ? e ?2t ? ? ?? 2t e ?t ? 2 e ?t ? 2 e ?2t ? 2t e ?t ? 4 e ?t ? 4 e ?2t ? 3t e ?t ? 2 e ?t ? 2 e ?2t ? 3t e ?t ? 5 e ?t ? 4 e ?2t 3t e ?t ? 8 e ?t ? 8 e ?2t t e ?t ? e ?t ? e ? 2 t ? ? t e ?t ? 2 e ?t ? 2 e ? 2 t ? t e ?t ? 3 e ?t ? 4 e ? 2 t ? ?

状态转移矩阵
方法4 通过线性变换,计算

? (t )

1)矩阵 A 可以经过线性变换成为对角阵,计算 ? (t ) 0? ? λ1 因为 ? ? λ 2 ? PAP ?1 ? Λ ? ? ? ? ? ? ? 0 λ n? ? 因为对角阵的特殊性质, 有: ?e λ1t 0 ? ? ? λ2t e 1 ? e Λt ? I ? Λt ? Λ 2t 2 ? ? ? ? ? ? 2! ? ? λn t ? 0 e ? ? ? ? 而 A ? P ?1ΛP

状态转移矩阵
因此,状态转移矩阵为

? (t ) ? e
-1

At

?e
-1

P -1ΛPt

? I ? P -1ΛPt ?
-1

2 1 P -1ΛP t 2 ? ? 2!

?

?

? 1 2 2? ? P P ? P ?Λt ?P ? P ? Λ t ? P ? ? ? 2! ? 1 2 2 ? -1 ? ? P ? I ? Λt ? Λ t ? ?? P ? P -1 e Λt P 2! ? ?

(17)

状态转移矩阵
例 线性定常系统的齐次状态方程为 用线性变换方法,计算其状态转移矩阵 ? (t ) λ1 ? ?1 解 λ2 ? ?2
?1 P ? Q ?1 ? ? ? λ1 1? λ2 ? ?
?1
?1

?1 ? ? 0 1 ? ? x1 ? ?x ?? ?x ? ??x ? ? ? 2 ? 3 ?? 2 ? ? 2? ?

?? 1 0 ? Λ ? PAP ? ? ? 0 ? 2 ? ? ?t 1 1 ? e ? ? e At ? P ?1 e Λt P ? ? ? ? ?-1 -2? ? 0

1 ? ?1 ?? ? ? 1 ? 2 ? ?

?1

1? ?2 ?? ? ? 1 ? 1 ? ?

1? ?1 Q?? ? ?? 1 ? 2?

0 ?? 2 1 ? ? ? 2t ? ? e ? ?-1 -1?

? 2 e ?t ? e ? 2 t ?? ?t ? 2t ? 2 e ? 2 e ?

e ?t ? e ? 2 t ? ? ? e ?t ? 2 e ? 2 t ?

2)矩阵 A 可以经过线性变换成为约当形阵,计算 ? (t ) 0? ? λ1 1 ? ? λ ? 1 ? J ? PAP ?1 ? ? ? ? 1? ? ? λ1 ? ?0 1 ? n ?1 ? 1 t t ? ? (n ? 1)! ? ? 1 ? 1 t t n?2 ? ? ? λt (n ? 2)! Jt 状态转移矩阵为 e ?? ?e 1 ? ? ? ? ? At ?1 Jt ? ? ? ( t ) ? e ? P e P (18) ? ? t ? ? 1 ? ? ?0 ?

状态转移矩阵

状态转移矩阵
3)矩阵 A 可以经过线性变换成为模态形阵,计算 ? (t )

如果矩阵A的特征值为共轭复数 λ1, 2 ? σ ? j ω
经过线性变换,可转换为模态矩阵M

? σ ω? ?1 M ? PAP ? ? ? ? ω σ ? ?
其中
? 0 ω? ? ?t ? -ω 0 ?

e
0? σt ? e ?

Mt

?e

? σ ω? ? ?t ω σ ? ?

?e

? σ 0 ? ? 0 ω? ? ?t ? ?t 0 σ ω 0 ? ? ? ?

e

e

?σ ? ?0

0? ?t σ?

?e σt ?? ?0

?1 0? ? 0 ω? 1 2 ? 0 ω? ? cosωt sin ωt ? e ?? ?? t? t ? ?? ? ? ? ? ? ? 0 1 ? ω 0 ? ω 0 ? sin ωt cos ωt 2 ! ? ? ? ? ? ? ? ? 系统状态转移矩阵为 ? (t ) ? e At ? P ?1 e Mt P (19)

2

线性定常系统非齐次状态方程的解
线性定常系统非齐次状态方程为

? (t ) ? Ax (t ) ? Bu(t ) x
改写为

(20) (21)

? (t ) ? Ax (t ) ? Bu(t ) x

(21)式两边同乘 e? At 得

或写成

? (t ) ? Ax(t )? ? e? At Bu(t ) e? At ?x d ? At e x (t ) ? e ? At Bu(t ) dt

?

?

(22)

对(22)式在 0 到 t 时间段上积分,有

e

? At

x(t ) ? ? e ? Aτ Bu( τ ) d τ
0 0

t

t

(23)

线性定常系统非齐次状态方程的解
e
? At

x(t ) ? x(0) ? ? e? Aτ Bu(τ ) d τ
0

t

(24)

At (24)式两边同乘 e ,并且移项 t At At x(t ) ? e x(0) ? e ? e ? Aτ Bu( τ ) d τ

0

? e x(0) ? ? e A(t ? τ ) Bu(τ ) d τ
At 0

t

(25) (26)

x(t ) ? ? (t ) x(0) ? ? ? (t ? τ ) Bu(τ ) d τ
0

t

更一般情况,当 t0 ? 0

x(t ) ? e

A(t ?t0 )

x(t0 ) ? ? e A(t ?τ ) Bu(τ ) d τ
t0

t

(27)
(28)

x(t ) ? ? (t ? t0 ) x(t0 ) ? ? ? (t ? τ ) Bu(τ ) d τ
t0

t

线性定常系统非齐次状态方程的解

由式(25)或式(27)可知,系统的运动 x(t ) 包括两个部分。一 部分是输入向量为零时,初始状态引起的,即相当于自由运动。

第二部分是初始状态为零时,输入向量引起的,称为强迫运动。正 是由于第二部分的存在,为系统提供这样的可能性,即通过选择适 当的输入向量 u(t ) ,使 x(t ) 的形态满足期望的要求。

线性定常系统非齐次状态方程的解
例 线性定常系统的状态方程为 ?1 ? ? 0 1 ? ? x1 ? ?0? ?x ?1? ?? ? ? ?u x (0) ? ? ? ?x ? ? ? ? ? x ? 2 ? 3 1 ?? 2 ? ? ? ? 2? ? 0

? ?

u (t ) ? 1(t )

?t ?2t ?t ?2t ? ? 2 e ? e e ? e 解 在例2-2中已经求得 ? (t ) ? e At ? ? ?t ? 2t ?t ? 2t ? ? 2 e ? 2 e ? e ? 2 e ? ? 由(26)式 ?t ?2 t ?t ?2 t t ? ? ?1? 2 e ? e e ? e x(t ) ? ? (t ) x(0) ? ? ? (t ? τ ) Bu(τ ) d τ ? ? 0 ?t ? 2t ?t ? 2t ? ? ? ? e ? 2 e ? ?0? ?? 2 e ? 2 e

? 2e ?e ?? ? ?( t ? τ ) ?2(t ? τ ) 0 ? 2e ? 2 e ?
t ?(t ? τ ) ?2 ( t ? τ )

1 ?t 1 ? 2 t ? ? ? ?0? e ?e ?e ? e ? ? 1( τ ) ? 2 2 ?( t ? τ ) ?2(t ? τ ) ? ? ? ? ? ? t ? 2t 1 ?e ? 2e ?? ? ? e ? e ? ?
?(t ? τ ) ?2 ( t ? τ )

线性定常系统非齐次状态方程的解
系统的输出方程为

y(t ) ? Cx (t ) ? Du(t )


y(t ) ? C e

A( t ?t0 )

x(t0 ) ? C ? e A(t ?τ ) Bu(τ ) d τ ? Du(t )
t0
t 0

t

(29)



y(t ) ? C e

At

x(0) ? C ? e A(t ?τ ) Bu(τ ) d τ ? Du(t )

可见,系统的输出 y(t ) 由三部分组成。
当系统状态转移矩阵求出后,不同输入状态向量作用下的系统输出 即可以求出,进而就可以分析系统的性能了。

线性定常系统的脉冲响应矩阵
? 脉冲响应矩阵——从时间域角度表述系统输入输出关系 ? 传递函数矩阵——从频率域表述系统输入输出关系

脉冲响应矩阵 ? 定义 [单位脉冲] 时间变量t,作用时刻为 的单位脉冲定义为满足如下关系的广义函数:

?0, ? (t ? ? ) ? ? ??,

t ?? , t ??

?

??

??

? (t ? ? )dt ? lim?
? ?0

? ??

? ??

? (t ? ? )dt ? 1

? 定义 [脉冲响应] 对SISO连续时间线性时不变系统,脉冲响应定义为零初始状态下以单位 脉冲为输入的系统输出响应。

h(t ? ? ) ?? , 对t ? ? , 有h(t ? ? ) ? 0.
? 定义 [输出响应] 对SISO连续时间线性时不变系统,假设系统初始状态为零,则系统在任 意输入u作用下基于脉冲响应的输出响应为:

y (t ) ? ? h(t ? ? )u (? )d? , t ? t0或
t0 t

t

y (t ) ? ? h(? )u (t ? ? )d? , t ? t0
t0

线性定常系统的脉冲响应矩阵
定义【脉冲响应矩阵】:表hi j(t-τ)为第j个输入端在时刻τ加以单位脉冲δ(t-τ)而所有 其他输入为零时,在第i个输出端的脉冲响应,对p维输入,q维输出连续时间线性时 不变系统,脉冲响应矩阵定义为零初始条件下以脉冲响应 hi j(t-τ)为元构成的一个输

出响应矩阵
? h11 ? t ? ? ? h12 ? t ? ? ? ? h21 ? t ? ? ? h22 ? t ? ? ? H ?t ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? hq1 ? t ? ? ? hq 2 ? t ? ? ? ?? 和?t ? ? ? h1 p ? t ? ? ? ? ? ? h2 p ? t ? ? ? ? ? ? ? ? ? hqp ? t ? ? ? ? ?

且H ? t ? ? ? ? 0,

结论:对p维输入,q维输出连续时间线性时不变系统,假设初始状态为零,则 系统在任意输入u作用下的输出响应y(t)为
y?t ? ? ? H ?t ? ? ?u?? ?d? ? ? H ?? ?u?t ? ? ?d?
t t t0 t0

t ? t0

线性定常系统的脉冲响应矩阵
脉冲响应矩阵和状态空间描述 结论:对连续时间线性时不变系统(A.B.C.D),设初始状态为零,则系统的脉冲 响应矩阵为
H ?t ? ? ? ? Ce A?t ?? ? B ? D? ?t ? ? ? ? C??t ? ? ?B ? D? ?t ? ? ?

结论:两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的脉冲响应矩阵

结论:两个代数等价的连续时间线性时不变系统具有相同的“输出零状态响应” 和“输出零输入响应”。

线性定常系统的脉冲响应矩阵
脉冲响应矩阵和传递函数矩阵 ? 结论:对连续时间线性时不变系统,其脉冲响应矩阵H(t)和传递函数 矩阵G(s)之间有如下关系:
G?s ? ? L?H ?t ?? H ?t ? ? L?? ?G?s ??

? 脉冲响应矩阵等同条件:给定两个连续时间线性时不变系统(A,B,C,D)

和 ( A, B, C, D), 二者具有相同的输入维数和输出维数,但状态维数可以 不同,则两个系统具有相同的脉冲响应矩阵即相同的传递函数矩阵, 当且仅当二者参数矩阵满足如下关系:

D?D CAi B ? CA i B , i ? 0,1, 2, ?

线性定常系统的脉冲响应矩阵
求该系统的脉冲响应矩
?0 ??? x ?0 ?1 y?? ?0 1? ?0 ? x ? ?1 ? u 2? ? ? ? 0? x ? 1?
?1


?s ?1 ? ( sI ? A) ? ? ? ?0 s ? 2 ?
?1

? 1 ? (t ) ? L ( sI ? A) ? ? ?0 ?
?1 ?1

1 ? ?1 ? s s ( s ? 2) ? ?? ? 1 ?0 ? ? s?2 ? ? ? 1 ? (1 ? e ? 2t )? 2 ? e ? 2t ?

?1 ? 2t ? ( 1 ? e )? H (t ) ? C? (t ) B ? ? 2 ? e ? 2t ? ? ?

也可以利用传递矩阵的拉氏反变换求得

线性时变系统运动分析
线性时变系统方程 齐次状态方程的解

? (t ) ? A(t ) x(t ) ? B(t )u(t ) ? x ? y(t ) ? C (t ) x(t ) ? D(t )u(t )?
? (t ) ? A(t ) x(t ) x

(30)

(31)

初始状态为 x (t0 ) 根据我们对线性定常齐次系统解的知识,可以假设线性时变齐 次系统的解应该具有以下形式,然后加以证明

? (t , t0 ) 是状态转移矩阵,并且满足以下方程 其中, d ? (t , t0 ) ? A(t )? (t , t0 ) dt
满足初始条件

x(t ) ? ? (t , t0 ) x(t0 )

(32) (33) (34)

? (t0 , t0 ) ? I

线性时变系统运动分析
证明 (32)式两边对 t 求导 d d d x (t ) ? [? (t , t0 ) x (t0 )] ? ? (t , t0 ) x (t0 ) dt dt dt ? A(t )? (t , t0 ) x (t0 ) ? A(t ) x (t )

并且t ? t0 时


x(t0 ) ? ? (t0 , t0 ) x(t0 ) ? x(t0 )

? (t0 , t0 ) ? I

线性时变系统运动分析
状态转移矩阵 ? (t , t0 ) 的基本性质 1) ? (t , t0 ) 满足自身的矩阵微分方程及初始条件,即 d ? (t0 , t0 ) ? I ? (t , t0 ) ? A(t )? (t , t0 ) dt 2) 可逆性 3) 传递性 4)

? ?1 (t, t0 ) ? ? (t0 , t )
? (t2 , t1 )? (t1 , t0 ) ? ? (t2 , t0 )
? ? (t , τ ) ? ?? (t , τ ) A( τ ) ?τ

线性时变系统运动分析
状态转移矩阵 ? (t , t0 ) 的计算 用级数*似法计算

? (t , t0 ) ? I ? ? A( τ 0 ) d τ 0 ? ? A( τ 0 ) ? A( τ1 ) d τ1 d τ 0
t0 t0 t0

t

t

τ0

? ? A( τ 0 ) ? A( τ1 ) ? A( τ 2 ) d τ 2 d τ1 d τ 0 ? ?
t0 t0 t0

t

τ0

τ1

(35)
0 1



? ? 线性时变系统齐次状态方程为 x ? ? A(t ) x ? ? ?x 0 t ? ? ? ( t , 0 ) 计算系统状态转移矩阵

线性时变系统运动分析
?0 1? 将 A?? 代入(35)式 ? ?0 t ? t ? ?0 t t ?0 1? dτ 0 ? ? 1 2 ? 其中 ?0 A( τ 0 )dτ 0 ? ?0 ? ? 0 t ? ? ?0 τ 0 ? 2 ? ? ? t3 ? ?0 ? t τ0 6 4? ?0 A(τ 0 )?0 A(τ1 )dτ1dτ 0 ? ? ?0 t ? ? 8? ? ? ? ? ? t3 ? t3 t ? ?? ? t ? ?0 ? ?1 ?1 0? ?0 6 ? ?? ? ? 6 1 ? ? ? (t ,0) ? ? ? ? 2 ? ? 4 4 ? 0 t t ? ?0 1 ? ? ?0 1 ? 1 t 2 ? t ? ?? 2 ? ? ? ?0 ? ? ? 8? 2 8 ? ? ? ?


线性时变系统运动分析
系统的输出

y(t ) ? C (t )? (t , t0 ) x(t0 ) ? C (t )? ? (t , τ )B(τ )u(τ ) d τ ? D(t )u(t ) (41) t
0

t


t ? y (t ) ? C (t )? (t , t0 ) x (t0 ) ? ? ? (t0 , τ )B ( τ )u( τ ) d τ ? ? D(t )u(t ) ? ? t0 ? ?

(42)

线性连续系统方程的离散化
? 问题的提出

线性连续系统的时间离散化问题的数学实质,就是在一定的采样方式和保持方式下, 由系统的连续时间状态空间描述导出对应的离散时间状态空间描述,并建立两者系 数矩阵间的关系式。
44

线性连续系统方程的离散化 假设:
1)被控对象上有采样开关; 2)采样周期为T,满足香农采样定理要求,包含连续信号全 部信息; 3)具有零阶保持器。 线性时变系统

? ? A(t ) x ? B(t )u ? x ? y ? C (t ) x ? D(t )u? 初始状态为 x (t0 )
状态方程的解为 t x(t ) ? ? (t , t0 ) x(t0 ) ? ? ? (t , τ )B(τ )u(τ ) d τ
t0

(56)

(57)

线性连续系统方程的离散化
令 t ? (k ? 1)T , t0 ? k0T ,则

x[(k ? 1)T ] ? ?[(k ? 1)T , k0T ] x(k0T ) ? ?
t0 ? k0T ,则 再令 t ? kT ,

( k ?1)T

k0T

?[(k ? 1)T , τ ]B(τ )u(τ ) d τ
(58)

x(kT ) ? ? (kT , k0T ) x(t0 ) ? ? ? (kT , τ )B(τ )u(τ ) d τ
k0T

kT

(59)

将(59)式两边都左乘 ?[(k ? 1)T , kT ]
( k ?1)T k0T

?[(k ? 1)T , kT ]x(kT ) ? ?[(k ?1)T , k0T ]x(k0T ) ? ?

?[(k ?1)T , τ]B( τ)u( τ)d τ (60)

线性连续系统方程的离散化
(58)减(60)并且整理后,得到
x[(k ? 1)T ] ? ?[(k ? 1)T , kT ] x(kT ) ? ?
令: G(kT ) ? ?[(k ? 1)T , kT ]
( k ?1)T kT

?[(k ? 1)T , τ ]B(τ )u(τ ) d τ
( k ?1)T kT

H(kT ) ? ?

?[(k ? 1)T , τ ]B( τ) d τ

考虑到 u(τ ) ? u(kT ) τ ?[kT , (k ? 1)T ] 于是
x[(k ? 1)T ] ? G(kT ) x(kT ) ? H (kT )u(kT ) x(k ? 1) ? G(k ) x(k ) ? H (k )u(k )

省略T,得到

(61)

输出方程离散化,令 t ? kT ,即可以得到
y(k ) ? C (k ) x(k ) ? D(k )u(k )

(62)

线性连续系统方程的离散化
线性定常系统

? ? Ax ? Bu? x ? y ? Cx ? Du?
离散化后得到

(63)

x (k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu(k )? ? y(k ) ? Cx (k ) ? Du(k ) ?
T ? H ? ? ? e Aτ d τ ? B ? ? 0 ?

(64)

其中 G ? e

AT

C ?C

D?D

线性离散系统的运动分析
线性定常离散系统齐次状态方程的解 系统的齐次状态方程为:
x(k ? 1) ? Gx(k )

(65)

其中,x(k)为n维状态向量 采用迭代法可以求出系统齐次状态方程的解
k ? 0 x(1) ? Gx(0) k ? 1 x(2) ? Gx(1) ? G 2 x(0) k ? 2 x(3) ? Gx(2) ? G 3 x(0)

k ? k ?1 x(k ) ? Gx(k ?1) ? G k x(0) ? ? (k ) x(0)

?

其中 系统的输出为

? (k ) ? G k
y(k ) ? CG k x(0)

(66)

(67)

线性离散系统的运动分析
状态转移矩阵
? (k ) 若系统初始状态为 x (0) ,通过? (k ) ? G 将其转移到状态 x (k ),故 称为状态转移矩阵。
k

1. ? (k ) 的基本性质 1)满足自身的矩阵差分方程及初始条件
? (k ? 1) ? G? (k )
? (0) ? I

2)传递性

? (k2 ) ? ? (k2 ? k1 )? (k1 )

3)可逆性

? ?1 (k ) ? ? (?k )

线性离散系统的运动分析
2. 状态转移矩阵的计算

有4种状态转移矩阵的计算方法:①按定义计算;②用z反变换 计算;③应用凯-哈定理计算;④通过线性变换计算。
在此,我们仅讨论用z反变换计算。 离散系统的齐次状态方程为: 对上式进行 z 变换
x(k ? 1) ? Gx(k )

zx( z) ? zx(0) ? Gx( z)

[ zI ? G] x( z ) ? zx(0) x( z) ? [ zI ? G]?1 zx(0) x (k ) ? Z ?1{[ zI ? G]?1 z}x(0) ? ? (k ) x(0) ? G k x(0)
可见
? (k ) ? G ?Z
k

?1

{[ zI ? G]?1 z}

(68)

线性离散系统的运动分析
例 离散系统齐次状态方程为 求状态转移矩阵 解
?1

? 1? ? 0 x(k ? 1) ? ? x (k ) ? ?? 0.4 0.3?
10 / 13 10 / 13 ? ? z ? 0.8 z ? 0.5 ? 8 / 13 5 / 13 ? ? ? z ? 0.8 z ? 0.5 ?

8 / 13 ? 5 / 13 ? 1 ? ? z ? 0.8 z ? 0.5 ? z ?1 [ zI ? A] ? ? ?? ? ? 4 / 13 4 / 13 ?0.4 z ? 0.3? ? ? ? z ? 0.8 z ? 0.5

? (k ) ? G k ?Z

?1

{[ zI ? G]?1 z}
10 10 k k? ? (0.8) ? (?0.5) ? 13 13 ? 8 5 k k (0.8) ? (?0.5) ? 13 13 ?

8 ? 5 k k ( 0 . 8 ) ? ( ? 0 . 5 ) ? 13 13 ?? 4 4 ?? (0.8) k ? (?0.5) k 13 ? 13

线性离散系统的运动分析
线性定常离散系统方程的解 (69) 系统方程为 x(k ? 1) ? Gx(k ) ? Hu(k ) y(k ) ? Cx (k ) ? Du(k ) 可以用迭代法求系统状态方程的解 k ?0 x(1) ? Gx(0) ? Hu(0) k ?1 x(2) ? Gx(1) ? Hu(1) ? G 2 x(0) ? GHu(0) ? Hu(1) x(3) ? Gx(2) ? Hu(2) ? G3 x(0) ? G 2 Hu(0) ? GHu(1) ? Hu(2) k?2
k ? k ? 1 x (k ) ? Gx(k ? 1) ? Hu(k ? 1) ? G k x (0) ? ? G k ?i ?1 Hu(i)

?

?

k ?1 i ?0

系统方程的解为 系统的输出为

x (k ) ? G k x (0) ? ? G k ?i ?1 Hu(i)
i ?0 k ?1 i ?0

k ?1

(70) (71)

y(k ) ? CG k x (0) ? C ? G k ?i ?1 Hu(i) ? Du(k )

线性离散系统的运动分析
线性时变离散系统方程的解 系统方程为

x(k ? 1) ? G(k ) x(k ) ? H (k )u(k ) y(k ) ? C (k ) x(k ) ? D(k )u(k )

(72)

若系统的解存在且唯一,则解为

x(k ) ? ? (k , k0 ) x(k0 ) ? ? ? (k , i ? 1) H (i)u(i)
i ? k0

k ?1

(73)

(用迭代法可以证明) 系统的输出为

y(k ) ? C (k )? (k , k0 ) x(k0 ) ? C (k ) ? ? (k , i ? 1) H (i)u(i) ? D(k )u(k )
i ? k0

k ?1

(74)

本章小结
1、本章对于线性系统运动规律的定量分析,是能观性、能 控 性以及稳定性等的理论基础。
2、运动分析的实质。对于给定的初始状态的输入,建立反映 因果关系的解析解。 3、掌握连续系统和离散系统的响应表达式。 4、连续系统的离散化。

5、计算问题。矩阵的运算。