2014年山东高考理科数学及参考答案_图文

发布于:2021-05-11 05:18:20

2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学 第Ⅰ卷(共 50 分)
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,选择符 合题目要求的选项。 1.已知 a, b ? R, i 是虚数单位,若 a ? i 与 2 ? bi 互为共轭复数,则 (a ? bi)2 等于( (A) 5 ? 4i (B) 5 ? 4i (C) 3 ? 4i (D) 3 ? 4i )

2.设集合 A ? {x || x ? 1|? 2} , B ? { y | y ? 2x , x ?[0, 2]},则 A ? B ? ( (A) [0,2] (B) (1,3) (C) [1,3) (D) (1,4)

)

3.函数 f ( x) ?

1 (log 2 x)2 ? 1
(B) (2, ??)

的定义域为(



(A) (0, )

1 2

(C) (0, ) ? (2, ??)

1 2

(D) (0, ] ? [2, ??)

1 2

4. 用反证法证明命题“设 a, b ? R ,则方程 x ? ax ? b ? 0 至少有一个实根”时要做的假
2

设是(
2

) (B)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有一个实根
2

(A)方程 x ? ax ? b ? 0 没有实根 (C)方程 x ? ax ? b ? 0 至多有两个实根
2

(D)方程 x ? ax ? b ? 0 恰好有两个实根
2

5.已知实数 x, y 满足 a ? a (0 ? a ? 1) ,则下列关系式恒成立的是(
x y

) (D) x3 ? y 3

(A)

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

(B) ln( x2 ? 1) ? ln( y 2 ? 1)

(C) sin x ? sin y

6.直线 y ? 4 x 与曲线 y ? x 在第一象限内围成的封闭图形的面积为(
3



(A) 2 2

(B) 2 2

(C)2

(D)4

1

7.为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单 位: kPa )的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的 顺序分别编号为第一组,第二组,??,第五组,右图是根据试验数据制成的频率分布直方 图,已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数 为( )

频率 / 组距 0.36 0.24 0.16 0.08 0 12 13
(B)8

14

15

16

17

舒张压/kPa
(D)18

(A)6

(C)12

8.已知函数 f ( x) ?| x ? 2 | ?1 , g ( x) ? kx .若方程 f ( x) ? g ( x) 有两个不相等的实根,则实 数 k 的取值范围是 (A) (0, )

1 2

(B) ( ,1)

1 2

(C)(1,2)

(D) (2, ??)

9.已知 x, y 满足的约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 当目标函数 z ? ax ? by(a ? 0, b ? 0) 在该约束 ?2 x ? y ? 3 ? 0,
2 2

条件下取得最小值 2 5 时, a ? b 的最小值为( (A)5 (B)4 (C) 5 (D)2



10.已知 a ? 0, b ? 0 ,椭圆 C1 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1 ? ? 1, , 双曲线 的方程为 C C1 与 2 a 2 b2 a 2 b2
) (D) 2 x ? y ? 0

C2 的离心率之积为
(A) x ? 2 y ? 0

3 ,则 C2 的渐*线方程为( 2
(B) 2 x ? y ? 0

(C) x ? 2 y ? 0

2

二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分 11.执行下面的程序框图,若输入的 x 的值为 1,则输出的 n 的值为__________。

12.在 ?ABC 中,已知 AB ? AC ? tan A ,当

A?

?
6

时, ?ABC 的面积为__________

13.三棱锥 P ? ABC 中,D, E 分别为 PB, PC 的中点,记三棱锥 D ? ABE 的体积为 V1 ,

P ? ABC 的体积为 V1 ,则
4

V1 ? __________ V2

b? ? 2 2 3 14.若 ? ax 2 ? ? 的展开式中 x 项的系数为20,则 a ? b 的最小值为_____________ x? ?
15.已知函数 y ? f ( x),( x ? R) ,对函数 y ? g ( x),( x ? I ) ,定义 g ( x) 关于 f ( x ) 的“对称 函数”为函数 y ? h( x), ( x ? I ) , y ? h( x) 满足:对任意 x ? I ,两个点 ( x, h( x)), ( x, g ( x)) 关于点 ( x, f ( x)) 对称,若 h( x) 是 g ( x) ?

4 ? x 2 关于 f ( x) ? 3x ? b 的“对称函数”,且

h( x) ? g ( x) 恒成立,则实数 b 的取值范围是_____________。

3

16.(本小题满分 12 分) 已知向量 a ? ? m, cos 2x? ,b? ? sin 2 x n ,? ,函数 f ? x? ? a? b,且 y ? f ? x? 的图像过点

?? ? ? 2? ? , ?2 ? . ? , 3 ? 和点 ? ? 12 ? ? 3 ?
(I)求 m, n 的值; (II)将 y ? f ? x? 的图像向左*移 ? ? 0 ? ? ? ? ? 个单位后得到函数 y ? g ? x? 的图像,若

y ? g ? x ? 图像上各最高点到点 ? 0,3? 的距离的最小值为 1,求 y ? g ? x ? 的单调递增区间.

17.(本小题满分 12 分) 如图,在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,
D1 A1 C1 B1

?DAB ? 60 , AB ? 2CD ? 2 , M 是线段 AB 的中点.
(I)求证: C1M / / *面A 1 ADD 1;

D

(II)若 CD1 垂直于*面 ABCD 且 CD1 = 3 ,求*面 C1 D1M 和 *面 ABCD 所成的角(锐角)的余弦值.

C M B

A

4

18、 (本小题满分 12 分) 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图,甲上有两个不相交的区域 A, B ,乙被划分 为两个不相交的区域 C , D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定: 回球 一次, 落点在 C 上的概率为

1 3 , 在 D 上的概率为 .假设共有两次来球且落在 A, B 上各一次, 5 5

小明的两次回球互不影响.求: (I)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (II)两次回球结束后,小明得分之和 ? 的分布列与数学期望.

D C

A B

19.(本小题满分 12 分) 已知等差数列 {an } 的公差为 2,前 n 项和为 S n ,且 S1 , S2 , S4 成等比数列。 (I)求数列 {an } 的通项公式; (II)令 bn = (?1)
n ?1

4n , 求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an ?1

5

20.( 本小题满分 13 分) 设函数 f ? x ? ?

ex 2 ? k ( ? ln x) ( k 为常数, e ? 2.71828 2 x x

是自然对数的底数)

(I)当 k ? 0 时,求函数 f ? x ? 的单调区间; (II)若函数 f ? x ? 在 ? 0, 2 ? 内存在两个极值点,求 k 的取值范围。

21.(本小题满分 14 分) 已知抛物线 C : y 2 ? 2 px( p>0) 的焦点为 F , A 为 C 上异于原点的任意一点,过点 A 的 直线 l 交于另一点 B , 交 x 轴的正半轴于点 D , 且有| FA ? FD , 当点 A 的横坐标为 3 时,

ADF 为正三角形。 (I)求 C 的方程;
(II)若直线 l1 // l ,且 l1 和 C 有且只有一个公共点 E , (i)证明直线 AE 过定点,并求出定点坐标; (ii) ABE 的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理 由。

6

2014年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 理科数学参考答案
一、选择题 1—5 DCCAD 6—10 DCBBA 二、填空题 11、3 12、

1 6

13、

1 4

14、2

15、 b ? 2 10

三、解答题 16、解: (Ⅰ)已知 f ( x) ? a ? b ? m sin 2x ? n cos2x ,

? 2? ? f ( x) 过点 ( , 3 ), ( ,?2) 12 3
? f ( ) ? m sin ? n cos ? 3 12 6 6 2? 4? 4? f ( ) ? m sin ? n cos ? ?2 3 3 3

?

?

?

?1 3 n? 3 ? m? ?m ? 3 ?2 2 解得 ? ?? ?n ? 1 ?? 3 ? 1 ? ?2 ? ? 2 2
(Ⅱ) f ( x) ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

f ( x) 左移 ? 后得到 g ( x) ? 2 sin( 2 x ? 2? ? ) 6
设 g ( x) 的对称轴为 x ? x0 ,? d ? 1 ? x0 ? 1 解得 x0 ? 0
2

?

? g (0) ? 2 ,解得 ? ?
? g ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

?
3

?

?

) ? 2 sin( 2 x ? ) ? 2 cos 2 x 6 2

?

? ?? ? 2k? ? 2 x ? 2k? , k ? z
?

?
2

? k? ? x ? k? , k ? z

? f ( x) 的单调增区间为 [?

?
2

? k? , k? ], k ? z

17、解: (Ⅰ)连接 AD 1
7

? ABCD ? A1B1C1D1 为四棱柱,?CD // C1D1
又? M 为 AB 的中点,? AM ? 1 ? CD // AM , CD ? AM

CD ? C1D1

? AM // C1D1 , AM ? C1D1 ? AMC1D1 为*行四边形 ? AD1 // MC1
又?C1M ? *面A1 ADD 1

AD1 ? *面A1 A D D 1

? AD1 // *面A1 ADD 1
(Ⅱ)方法一:? AB // A1B1

A1B1 // C1D1

?面D1C1M与ABC1D1共面
作 CN ? AB ,连接 D1 N 则 ?D1 NC 即为所求二面角 在 ABCD 中, DC ? 1, AB ? 2, ?DAB ? 60? ? CN ?

3 2

在 Rt?D1CN 中, CD1 ? 3 , CN ? 方法二:作 CP ? AB 于 p 点

3 15 ? D1 N ? 2 2

以 C 为原点, CD 为 x 轴, CP 为 y 轴, CD1 为 z 轴建立空间坐标系,

1 3 ? C1 (?1,0, 3 ), D1 (0,0, 3 ), M ( , ,0) 2 2 1 3 ? C1 D1 ? (1,0,0), D1M ? ( , ,? 3 ) 2 2
设*面 C1 D1M 的法向量为 n ? ( x1 , y1 , z1 )

? x1 ? 0 ? ??1 3 y1 ? 3z1 ? 0 ? x1 ? 2 ?2

?n1 ? (0,2,1)

8

显然*面 ABCD 的法向量为 n2 ? (1,0,0)

? cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 n1 n2

?

1 5 ? 5 5

显然二面角为锐角, 所以*面 C1 D1M 和*面 ABCD 所成角的余弦值为

5 5

3 NC 3 5 ? cos?D1CN ? ? 2 ? ? D1 N 5 15 15 2

18、解: (I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为 A

5 1 1 4 3 P( A) ? ? ? ? ? 6 5 6 5 10
(II) ?的可能取值为 0, 1 , 2, 3, 4, 6

1 1 1 1 1 1 3 1 P(? ? 0) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? 6 5 30 3 5 6 5 6 1 3 1 1 1 1 1 2 P(? ? 2) ? ? ? , P(? ? 3) ? ? ? ? ? 3 5 5 2 5 6 5 15 1 3 1 1 11 1 1 1 P(? ? 4) ? ? ? ? ? , P(? ? 6) ? ? ? 2 5 3 5 30 2 5 10
??的分布列为
?

0
1 30

1
1 6

2
1 5

3
2 15

4
11 30

6
1 10

P

? 其数学期望为 E (? ) ? 0 ?

1 1 1 2 11 1 91 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 6 ? ? 30 6 5 15 30 10 30

19、解: (I) d ? 2, S1 ? a1 , S2 ? 2a1 ? d , S4 ? 4a1 ? 6d ,
2 ? S1, S2 , S4成等比? S2 ? S1S4

解得 a1 ? 1,? an ? 2n ?1 (II) bn ? (?1)
n ?1

4n 1 1 ? (?1) n?1 ( ? ) an an?1 2n ? 1 2n ? 1
9

1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为偶数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ?Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 当n为奇数时, Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ?? ? ( ? )?( ? ) 3 3 5 5 7 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 2n ? 2 ? Tn ? 1 ? ? 2n ? 1 2n ? 1

? 2n , n为偶数 ? ? 2n ? 1 ? Tn ? ? ? 2n ? 2 , n为奇数 ? ? 2n ? 1

20、

解:( 1)f ' ( x) ?

e x ? x 2 ? 2 xex 2 1 ? k (? 2 ? ) 4 x x x

( x ? 2)(e x ? kx) ? ( x ? 0) x3 当k ? 0时,kx ? 0,? e x ? kx ? 0 令f ' ( x) ? 0, 则x ? 2 ?当x ? (0,2)时,f ( x)单调递减; 当x ? (2,??)时,f ( x)单调递增。 (2)令g ? x ? ? e x ? kx 则g ' ( x ) ? e x ? k ? e x ? k , x ? ln k ? g ' (0) ? 1 ? k ? 0, g (0) ? 1 ? 0 e2 g ( 2) ? e ? 2k ? 0 ? k ? 2 ln k g ?ln k ? ? e ? k ln k ? 0 ? ln k ? 1? k ? e
' 2

? k ? 0, g ?2 ? ? e

2

综上 : e的取值范围为( e,

e2 )。 2

10

11

12


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